Logika Matematika
Sebelum kita masuk ke logika matematika, kita harus
tahu dulu definisi logika tersebut yang nantinya sangat berperan dalam
pemahaman logika matematika sendiri. Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος
(logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata
dan dinyatakan dalam bahasa. Logika mempunyai beberapa manfaat, yaitu :
- Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
- Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
- Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
- Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
- Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan, serta kesesatan.
- Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
- Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
- Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.
Setelah kita
mengetahui tentang Logika kita akan lebih mudah dalam mempelajari logika
matematika. Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.
1.
Pernyataan
Yang
dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah
tetapi tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat
bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau
salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan
matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan
tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan
pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.
contoh :
6×5 = 30 (
pernyataan tertutup yang benar )
6+5=10 (
pernyataan tertutup yang salah )
gula putih
rasanya manis ( pernyataan terbuka )
Jarak
jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )
2. Ingkaran
Pernyataan ( negasi )
Ingkaran
merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat
dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar
dinotasikan ~.
contoh :
pernyataan
B
: Sepeda motor beroda dua
negasi
pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua
3.
Pernyataan Majemuk
3.1.
Konjungsi
suatu pernyataan
p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan
majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan
Tabel
disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan
majemuk konjungsi.
Jika
menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga
kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.
3.2.
Disjungsi
suatu
pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk
pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan
dengan
Tabel
disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk disjungsi.
sehingga
jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan
menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya.
3.3.
Implikasi
suatu
pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan
dilambangkan dengan
Tabel
disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk implikasi.
sehingga
jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita
akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.
3.4.
Biimplikasi
suatu
pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’
sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut
dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan
Tabel
disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk biimplikasi.
sehingga
jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita
akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita
akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.
4.
Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk
Ekuivalensi
dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk
negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam
menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita
harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka
kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan
kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan
disamping.
Tidak perlu
bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa
menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan
hafal, dan pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan
dalam soal.
5. Konvers,
Invers dan Kontraposisi
Dari sebuah
implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan
kontraposisi dari implikasi tersebut
6.
Pernyataan Berkuantor
Pernyataan
berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam
yaitu :
6.1 Kuantor
Universal
Dalam
pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk
setiap).
contoh : ∀ x
R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka
berlaku x>0.
6.2 Kuantor
Eksistensial
Dalam
pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca
ada, beberapa, terdapat, sebagian )
contoh : ∀ x
R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana
x+5>1.
7. Ingkaran
dari pernyataan berkuantor
Ingkaran
dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial,
begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
pernyataan berkuantor universal.
contoh :
p : beberapa
siswa SMA rajin belajar
~p : semua
siswa SMA tidak rajin belajar
8. Penarikan
Kesimpulan
Penarika
kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya
yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada
diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan
dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan
argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka
konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :
8.1 Modus
ponens
premis 1 : p
→q
premis 2 : p
( modus
ponens)
__________________
Kesimpulan:
q
Arti Modus
Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik
kesimpulan q“. sebagai contoh :
premis 1 :
Jika bapak datang maka adik akan senang
premis 2 :
bapak datang
__________________
Kesimpulan:
Adik senang
8.2 Modus
Tollens
premis 1 : p
→q
premis 2
: ~q (
modus tollens)
__________________
Kesimpulan:
~p
Modus
Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik
kesimpulan ~p“. sebagai contoh :
premis 1 :
Jika hari hujan, maka adik memakai payung
premis 2 :
Adik tidak memakai payung
___________________
Kesimpulan :
Hari tidak hujan
8.3
Silogisme
premis 1 :
p→q
premis
2 : q → r (
silogisme)
_________________
Kesimpulan:
p →r
Silogisme
berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik
kesimpulan p→r“. sebagai contoh :
Premis 1 :
Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 :
Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.
__________________________________________________
Kesimpulan:
Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
Catatan
Tambahan:
Hukum de
Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
Ekuivalensi
implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar